Esistono diverse teorie (equivalenti) del determinante. La dimostrazione che cerchi dipende quindi dalla teoria trattata PRIMA di arrivare al teorema di Binet.

Probabilmente prima del teorema di Binet hai incontrato il seguente teorema.



TEOREMA. Se M è una matrice n×n, allora det(M) = 0 se e solo se le n colonne di M sono linearmente dipendenti, ovvero esistono n scalari α_1, α_2, ..., α_n, non tutti nulli, tali che

α_1M_1 + α_2M_2 + ... + α_nM_n = (0, 0, ..., 0)^T

dove M_1, M_2, ..., M_n sono le colonne di M.



Dimostrazione che det(AB) = det(A)det(B) nel caso det(B) = 0.

Supponiamo che A, B siano matrici n×n e che det(B) = 0. Allora det(A)det(B) = 0 e si tratta di provare che det(AB) = 0.

Per il teorema precedente (implicazione solo se) esistono n scalari α_1, α_2, ..., α_n, non tutti nulli, tali che

α_1B_1 + α_2B_2 + ... + α_nB_n = (0, 0, ..., 0)^T

dove B_1, B_2, ..., B_n sono le colonne di B.

Moltiplicando a sinistra per A abbiamo

A(α_1B_1 + α_2B_2 + ... + α_nB_n) = A(0, 0, ..., 0)^T

Applicando la linearità della moltiplicazione matrice - vettore, abbiamo

α_1(AB_1) + α_2(AB_2) + ... + α_n(AB_n) = (0, 0, ..., 0)^T

Osserviamo che i vettori colonna AB_1, AB_2, ..., AB_n sono le colonne della matrice AB, pertanto per il teorema precedente (implicazione se), tenuto conto che α_1, α_2, ..., α_n non sono tutti nulli, abbiamo det(AB) = 0.

c.v.d.